1- Assim que tiver acessado seu painel de controle cPanel, encontre a aba Software e selecione a opção MultiPHP Manager.
2 - Primeiro devemos saber que não conseguiremos instalar a extensão ZIP em uma versão do PHP que estiver marcada como Inherited (herdada), como mostra a seta amarela.
Agora será necessário escolher a versão do PHP que quer utilizar, onde está sinalizando a seta azul, depois marcar a caixinha onde está a seta verde e por fim clicar em Apply onde mostra a seta vermelha.
Obs: Mesmo que a versão do PHP que queira utilizar seja a mesma que já está predefinida no painel, esse processo deverá ser efetuado da mesma forma, até que a notificação de Inherited suma.
A versão do PHP deve estar da seguinte forma, de acordo com a versão do PHP que tenha escolhido.
3 - Novamente na tela principal do seu painel de controle na aba Softwares, selecione a opção PHP PEAR Packages. Na nova tela que irá aparecer, escreva "zip" no campo de procura e clique em Go como mostrado na imagem a seguir.
4 - Na nova tela que irá aparecer, basta clicar em Install, esperar o processo de instalação finalizar e voltar para a tela principal do cPanel.
5 - Nesta próxima tela você deverá encontrar a versão do PHP configurada como nativa. Agora devemos escolher a versão do PHP que definimos no 2º passo.
Clique onde está sendo mostrado na seta amarela e escolha a versão do PHP que deseja. Uma rápida mudança será feita como mostrado na imagem a seguir e clique em "Set as current" para definirmos que esta é a versão do PHP que queremos configurar a extensão ZIP.
Devemos ir agora na aba Extensions que está sinalizada pela seta vermelha. Na nova tela que irá aparecer, basta descer até a letra "z" e marcar a caixinha da extensão ZIP que uma mensagem de confirmação irá aparecer nos notificando que a extensão ZIP foi habilitada para a versão do PHP que definimos.
Agora a extensão ZIP já está habilitada.